Sois plus rigoureux, Mathieu !

Hier, le prof a fait une interrogation, en fin d'heure ; et, pour une fois, Mathieu est plutôt impatient d'avoir sa note... Il sait qu'il a trouvé les bons résultats, et se dit qu'un "10/10" ne ferait pas de mal à sa moyenne...

| L'énoncé était le suivant : "Sachant que les droites (VE) et (AU) sont parallèles, déterminer AG et UG..." Mathieu se souvient avoir commencé ainsi :
Puisque (VE) parallèle à (AU), d'après le théorème de Thalès :
VG | = |  | = |
| UG |
Mais voilà : Le professeur vient de rendre les copies, et cette introduction dont il était si fier est rageusement barrée de rouge avec le commentaire suivant : " Comme tu l'écris, c'est faux : il manque des hypothèses ! Sois plus rigoureux, Mathieu ! "

Mais pourquoi a-t-il dit ça ? Tout simplement parce qu'il existe un cas où (VE) est parallèle à (AU), mais où pourtant l'égalité :
VG | = | EG | = | VE
AG | UG | AU
n'est pas vérifiée...

Dans la figure de gauche, trouvez un cas où les droites (VE) et (AU) sont parallèles, mais où l'égalité
VG | = | EG | = | VE
AG | UG | AU
n'est pas vérifiée...
Les rapports VG/AG, EG/UG et VE/AU sont calculés automatiquement. Si vous ne trouvez pas tout de suite, insistez un peu : c'est possible !

Même si (VE) et (AU) sont parallèles, pour pouvoir écrire que
VG | = | EG | = | VE
AG | UG | AU
il faut en plus que et que

Donc Mathieu aurait dû écrire :

Puisque (VE) est parallèle à (AU) et que les points G, , V et G, U, sont alignés,
d'après le théorème de Thalès :

VG | = | EG | = | VE
AG | UG | AU