Et Thalès, dans tout ça ?!...

| Thalès de Millet... Homme d'état, philosophe, astronome, mathématicien... (625-547 av. J.C.)
Voilà un homme, apparemment brillant, qui a consacré une partie de son existence à démontrer ce que vous venez de voir : "Si (AC) est parallèle à (OT), le triangle LOT est forcément un agrandissement du triangle LAC." O n pourrait penser qu'il avait vraiment du temps à perdre... Mais il se trouve que cette propriété, qui s'appelle d'ailleurs le théorème de Thalès , est extrêmement intéressante dans la vie de tous les jours... |

Par exemple : Maurice veut connaître la hauteur de l'arbre (vertical) correspondant à la distance SP. Pour cela, il plante un bâton (vertical lui aussi) et mesure la distance BA. Il trouve BA = 1,20 m. En plaçant sa tête au ras du sol, il choisit le point M de telle sorte que les points M, B et S soient alignés. Il mesure soigneusement les distances MA et MP et trouve MA = 4,5 m et MP = 22,5 m.
| Puisque le bâton et l'arbre sont tous les deux verticaux, (BA) est parallèle à ( ) donc d'après le théorème de Thalès, est un agrandissement de de coefficient :
(k =) | MS | = |  | = |
| MA |

Ici, (k=) est inscrit en italique car on verra par la suite que le but n'est pas du tout de déterminer le coefficient d'agrandissement, mais d'obtenir une égalité de trois fractions. Reprenons cette égalité, et remplaçons lorsque c'est possible les lettres par des valeurs numériques... |
MS | = |  | = | SP
MB |  |

Gardons maintenant les deux dernières fractions
(la première ne nous apporte aucun renseignement utile...).

22,5 | = | SP
4,5 | 1,20

Rappel 1 : Si deux fractions sont égales, alors on peut les placer dans un tableau de proportionnalité. Par exemple :
2 | = | 4 | donc |
2 | 4
3 | 6
| est un tableau de proportionnalité.
3 | 6
car on obtient les nombres de la deuxième colonne en multipliant tous les nombres de la première colonne par le même coefficient (ici, on multiplie par ).

Rappel 2 : On voudrait trouver la dernière valeur du tableau de proportionnalité :
2 | 4
3 | x
On a vu dans le rappel 1 que x = , mais on voudrait retrouver ce résultat par une autre méthode. On commence par chercher la diagonale "complète" (la diagonale dont on connaît les deux valeurs...). Dans le tableau ci-dessus, les deux nombres de la diagonale "complète" sont et . Pour trouver x , on multiplie les deux nombres de la diagonale complète, et on divise le résultat par le troisième nombre que l'on connaît, qui est .
2 | 4
3 | x = 3x4/2 = 6

Dans le cas qui nous intéresse,

22,5 | = | SP
4,5 | 1,20

Donc SP = 22,5 x
/
= mètres.

Vous n'avez pas bien compris le produit en croix ?