Un produit indispensable !

Rappel 1 : On dit qu'un tableau est un tableau de proportionnalité si on obtient les nombres de la deuxième colonne en multipliant les nombres de la première colonne par le même coefficient k non nul. Par exemple :
5 | 30
3 | 18
| est un tableau de proportionnalité car :
5 | 30 = 5 x
3 | 18 = 3 x
donc ici on obtient les nombres de la deuxième colonne en multipliant les nombres de la première colonne par le même coefficient k = .

Rappel 2 : Pour trouver la "case manquante" d'un tableau de proportionnalité, on peut bien sûr chercher le coefficient k. Par exemple, si l'on sait que le tableau suivant est un tableau de proportionnalité, et qu'on cherche x :
7 | 21
3 | x
Pour "passer" de 7 à 21, on multiplie par k = , donc pour "passer" de 3 à x, on multiplie aussi par k = , donc x = 3 x = . Ou alors, on applique le "Produit en croix". Cela consiste à multiplier les nombres de la diagonale "complète" et de diviser le résultat par le troisième nombre connu.
Dans le cas précédent, la seule diagonale complète est : |
7 | 21
3 | x
(c'est la seule dont on connaisse tous les éléments ...), et le troisième nombre connu est . Donc x = 3 x / = .

Rappel 3 : Lorsqu'on connaît une fraction et qu'on veut obtenir une fraction équivalente, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre... Par exemple :
2 | = | 8 | car | 2 | = | 2 x | = | 8
3 | 12 | 3 | 3 x | 12
Donc on peut placer ces deux fractions dans un tableau de proportionnalité car on obtient les nombres de la deuxième colonne en multipliant tous les nombres de la première colonne par le même coefficient (ici, on multiplie par ).
2 | = | 8 | et |
2 | 8
3 | 12
| est un tableau de proportionnalité.
3 | 12

Et donc, puisque deux fractions équivalentes constituent les éléments d'un tableau de proportionnalité, on peut aussi leur appliquer le "produit en croix" !

Par exemple, on cherche x tel que : | 15 | = | x
20 | 28

La seule diagonale complète est : | 15 | = | x | et le dernier nombre connu est .
20 | 28

Donc x = 15 x / = et | 15 | = |
20 | 28

et en effet, en simplifiant chacune de ces deux fractions, on obtient :

15 | = |  | et | 21 | = |
20 |  | 28 |