Là, ça devient subtil !

Supposons que dans l'exemple ci-dessous, on veuille prouver que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
Il va falloir montrer que :

AE | = |
| AB
Allons-y ! Simplifions :
AE | = | 8 | = |
AC | 4
D'autre part,
AD | = |  | = |
AB |

On aurait envie d'écrire :
" Puisque AE/AC = AD/AB, les droites (CB) et (ED) sont parallèles
d'après la réciproque du théorème de Thalès. "
Mais votre professeur vous demandera certainement de rajouter quelque chose d'important dans la rédaction...

| En effet, la condition : AE/AC = AD/AB ne suffit pas pour affirmer que les droites sont parallèles. Dans le dessin ci-contre, il existe un cas où AE/AC = AD/AB, et où pourtant les droites (BC) et (DE) ne sont manifestement pas parallèles... Trouvez-le ! C'est le cas où A appartient à

Il faudra donc écrire :

Puisque | AE | = |  | et que les points A, C, et A, , sont alignés dans cet ordre,
AC |

(BC) et ( ) sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

Un autre exemple ? :

Dans le dessin ci-contre, on voudrait montrer que (MN) et (PR) sont parallèles. En supposant que MNO soit effectivement un agrandissement de OPR, le côté [PO] se transforme en [ ], le côté [OR] se transforme en [ ] et le côté [PR] se transforme en [ ]. Mais puisque, pour la réciproque de Thalès, on ne s'occupe pas des côtés dont on veut montrer le parallélisme, il suffit de prouver que :
| = |
PO |
Qu'attendons nous pour le faire ?...
| = |  | = |
PO |  |
D'autre part,
| = |  | = | 6
OR |  | 5

Puisque NO/PO = MO/OR et que les points M, O, et N, , sont alignés dans cet ordre,
(MN) est parallèle à (PR) d'après la réciproque du théorème de Thalès.