Il faudrait savoir ! C'est la réciproque, ou le théorème !?...

On voudrait savoir si, dans le dessin ci-dessous, les droites (BN) et (AO) sont parallèles.
Le "grand" triangle est BTN, et le "petit" triangle est
Pour que les droites soient parallèles, il faudrait que :

BT | = |

| Faisons les calculs...
BT | = | 50 | = |
D'autre part,
| = |  | = |

On aurait donc envie d'écrire :

Puisque |  | différent de | NT
| OT

et que les points T, , B et T, , sont alignés dans cet ordre,
(AO) n'est pas parallèle à ( )
d'après la réciproque du théorème de Thalès.

Mais, ultime subtilité, ce n'est pas la réciproque du théorème de Thalès qu'on utilise pour aboutir à cette conclusion !

C'est le théorème de Thalès, ou la contraposée du théorème de Thalès !

Pour savoir pourquoi,

Ca y est ? Vous êtes revenus ? Alors appliquons nos nouvelles connaissances sur la réciproque et la contraposée au théorème de Thalès...

En simplifiant un peu, le théorème de Thalès nous dit :

| condition 1 |  | condition 2
Si | (AO) parallèle à (BN) | alors | TB/TA = TN/TO.

La réciproque du théorème de Thalès est donc :

| condition 2 |  | condition 1
Si |  | alors | .

Quant à la contraposée du théorème de Thalès, c'est :

| Négation de la condition 2 |  | Négation de la condition 1
Si |  | alors | .

Donc, pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles, c'est bien
qu'il faudrait utiliser.
La phrase correcte pour répondre à l'exercice du haut de la page est par conséquent :

Puisque | BT | différent de | NT
AT | OT

et que les points T, A, B et T, O, N sont alignés dans cet ordre, (AO) n'est pas parallèle à (BN)
d'après la contraposée du théorème de Thalès.

Mais comme on considère qu'une propriété et sa contraposée ne sont en fait que deux façons différentes d'affirmer la même chose, on écrira souvent :

Puisque | BT | différent de | NT
AT | OT

et que les points T, A, B et T, O, N sont alignés dans cet ordre, (AO) n'est pas parallèle à (BN)
d'après le théorème de Thalès.