Merci, Pythagore !

Considérons maintenant un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 45 cm et AC = 336 cm.
On voudrait connaître la longueur exacte du côté [BC].

Difficile de faire un dessin ! Et si on réduit toutes les dimensions, on risque de ne plus pouvoir faire de mesure précise... Un élève qui passait par là, et qui avait déjà fait ces fiches, dit : "Moi je sais ; il y a un truc... Ca s'appelle le théorème de Pythagore." Il prend alors sa calculatrice, tape sur quelques touches, et dit : "BC mesure obligatoirement 339 cm". Mais comment a-t-il fait ? Et d'abord , qu'est-ce donc que ce "Théorème de Pythagore" ? |

Pour le savoir, revenons quelques siècles en arrière, dans une petite île au large de la Grèce.

Ce jour là, Pythagore rencontra par hasard son voisin qui lui posa la question suivante :

| "Voilà mon problème : il y a trois terrains carrés à vendre (un vert et deux jaunes) autour d'une mare triangulaire (en bleu). Avec l'argent que je possède, je peux acheter soit le terrain vert, soit les deux terrains jaunes. Le problème, c'est que je ne connais pas leurs superficies, et je voudrais posséder le plus de terrain possible...". Pythagore prit quelques instants pour réfléchir et dit : "Avant de te répondre, j'ai besoin de connaître l'angle que forment les bords de la mare au point A...". Pourquoi est-ce si important ?! |
Pythagore en train de réfléchir intensément... (le 21 août -554 dans l'après-midi...)

A gauche de la figure ci-dessous, l'ordinateur calcule automatiquement la somme des aires des deux terrains jaunes, et l'aire du terrain vert.
Modifiez l'angle des bords de la mare en agissant sur le point de contact des deux carrés jaunes.
A chaque modification de l'angle, les aires varient.

Commencez par trouver 3 angles différents les uns des autres d'au moins 5° pour lesquels l'aire du terrain vert est inférieure aux aires des deux terrains jaunes réunis.
Vous inscrirez les valeurs de ces 3 angles dans les cases ci-dessous :

L'aire verte est inférieure à l'aire jaune si l'angle mesure : ° , ° ou ° .

Maintenant, trouvez 3 angles différents les uns des autres d'au moins 5° pour lesquels l'aire du terrain vert est supérieure aux aires des deux terrains jaunes réunis :

L'aire verte est supérieure à l'aire jaune si l'angle mesure : °, ° ou ° .

| L'aire verte devient plus grande que l'aire jaune dès que l'angle devient à ° . L'aire verte devient plus petite que l'aire jaune dès que l'angle devient à ° .

Donc si l'angle vaut exactement ° , l'aire verte est à l'aire jaune.